POTENCIAS

 

Las potencias

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¿Cómo podemos definir las potencias?

Potencia ▷➤ La forma más sencilla de definirla es como una manera sencilla de multiplicar un número por si mismo, o multiplicar el mismo número varias veces. Una potencia es un producto de factores iguales

Términos de las potencias

Base de una potencia: Es el factor (número) que se repite

Exponente: Número de veces que se repite el factor o número

Vamos a poner un ejemplo

Cómo se lee una potencia

Para leer una potencia, leemos primero la base a continuación la palabra elevado y finalmente el exponente, por ejemplo

3²    ▷➤ Se lee tres elevado a dos (cuando el exponente es 2 puede leerse tres al cuadrado)

2³    ▷➤ Se lee dos elevado a tres (Cuando el exponente es 3 se puede leer dos al cubo)

El resto de exponentes siempre llevará la palabra elevado

Definiciones sobre potencias de números

Cuadrado de un número: Resultado de multiplicar un número por si mismo, el exponente sería el 2 y se nombra «Cuadrado del número»

Ejemplo. Cuadrado de 3

3² = 9

Cubo de un número: De igual manera, el cubo de un número es el resultado de multiplicar ese número tres veces por si mismo

Ejemplo: El cubo de 2

2³ = 2 x 2 x 2  = 8

Potencias de 10: Las potencias de base 10 tienen como factor el número 10 y el número de ceros será igual al exponente representado

Ejemplo.

10³ = 1.000

10⁵ = 100.000

Exponentes especiales: 0 y 1[editar]

La potenciación en el conjunto de los números naturales tiene varios casos especiales:

• Cuando el exponente es igual a 1, el resultado de la operación siempre es igual a la base.

Si ${\displaystyle a\in \mathbb {N} }$, entonces ${\displaystyle a^{1}=a}$

Por ejemplo:

• ${\displaystyle 0^{1}=0}$
• ${\displaystyle 1^{1}=1}$
• Cuando el exponente es igual a 0 y la base es diferente de 0, el resultado de la operación siempre es igual a 1.

Si ${\displaystyle a\in \mathbb {N} }$ y ${\displaystyle a\neq 0}$, entonces ${\displaystyle a^{0}=1}$

Por ejempo:

• ${\displaystyle 1^{0}=1}$
• ${\displaystyle 2^{0}=1}$

         

       Potencia de una potencia

El resultado de calcular la potencia de una potencia es una potencia con la misma base, y cuyo exponente es la el producto de los dos exponentes. 

Por ejemplo:

(2³)⁵ = 2^3.5 = 2¹⁵

Distributiva respecto a la multiplicación 

Para hacer el producto de dos números elevado a una misma potencia tienes dos caminos posibles, cuyo resultado es el mismo:

Podes primero multiplicar los dos números, y después calcular el resultado de la potencia: 

por ejemplo.

(4·5)⁴ = 20⁴= 160000

O bien podes elevar cada número por separado al exponente y después multiplicar los resultados.

(4·5)⁴ = 4 ⁴ . 5⁴ = 256·625 = 160000

Distributiva respecto a la división

De forma análoga podes proceder si se trata del cociente de dos números elevado a la misma potencia.

(3 : 2)⁴ = 1, 5 ⁴ = 5, 0625 

(3 : 2)⁴ = 3⁴ : 2⁴ = 81 : 16 = 5,0625

Observa que de las dos formas obtienes el mismo resultado. Ahora bien, no siempre será igual de sencillo de las dos formas. Así que piensa de antemano qué método va a ser más conveniente para realizar el cálculo.

NO distributiva respecto a la suma y a la resta

No se puede distribuir cuando dentro del paréntesis es suma o resta:

Por ejemplo:

(6 + 3)² ≠ 6² + 3²         porque             (6 + 3)² = 9² = 81

6² + 3²  = 36 + 9 = 45

            81 ≠ 45

 

(10 - 6)² ≠ 10² - 6²       porque             (10 - 6)² = 4² = 16

10² - 6²  = 100 - 36 = 64

            16 ≠ 64

Multiplicación de potencias de igual base 

Observa el siguiente ejemplo:

2³ . 2³ . 2³ . 2³ = 2^3+3+3+3  = 2 ^3.4  = 2¹²

Observa que el resultado de multiplicar dos o más potencias de igual base es otra potencia con la misma base, y en donde el exponente es la suma de los exponentes iniciales.

Cociente de potencias de igual base

Veamos cómo se haría un cociente de potencias de igual base:

5⁸ : 5⁴ = 5^{8 - 4} = 5⁴ = 625

Observa que el resultado de dividir dos potencias de igual base es otra potencia con la misma base, y en donde el exponente es la resta de los exponentes iniciales.